Aplicación de la Fórmula de los Gases Ideales

Depósitos de Nitrógeno: Ejercicio de Gas Ideal

Problema: Depósitos de Nitrógeno con Ley de los Gases Ideales

Enunciado resumido:

Un depósito de 2 × 10−2 m³ contiene nitrógeno a 1 × 106 N/m² y 300 K.

  1. ¿Qué cantidad de gas (en moles) contiene el recipiente?
  2. Con parte de este nitrógeno se llena otro depósito hasta que la presión en él es 5 × 105 N/m² a 288 K. La presión en el primer depósito desciende a 0.8 × 106 N/m², manteniéndose su temperatura en 300 K. Hallar el volumen del segundo depósito.

1. Datos del problema

  • Volumen inicial, \(V_1 = 2.0 \times 10^{-2}\,\text{m}^3\).
  • Presión inicial, \(P_1 = 1.0 \times 10^6\,\text{N/m}^2\).
  • Temperatura inicial, \(T_1 = 300\,\text{K}\).
  • Presión final depósito 1, \(P_1' = 0.8 \times 10^6\,\text{N/m}^2\).
  • Temperatura final depósito 1, (misma) \(T_1' = 300\,\text{K}\).
  • Presión depósito 2, \(P_2' = 5.0 \times 10^5\,\text{N/m}^2\).
  • Temperatura depósito 2, \(T_2' = 288\,\text{K}\).
  • Volumen depósito 2, \(V_2\) (desconocido, a determinar).
  • Constante de los gases ideales, \(R = 8.314\,\text{J/(mol·K)}\).

Supondremos gas ideal y que no hay fugas fuera de los recipientes (la cantidad total de gas se transfiere de uno al otro).

2. Parte (a): Cantidad de gas en el recipiente inicial

Usamos la ley de los gases ideales:

$$ P\,V \;=\; n\,R\,T, $$

donde \(n\) es la cantidad de moles. Inicialmente, el depósito 1 tiene presión \(P_1\), volumen \(V_1\) y temperatura \(T_1\). Despejamos \(n\):

$$ n_0 \;=\; \frac{P_1\,V_1}{R\,T_1}. $$

Sustituyendo valores numéricos:

$$ n_0 \;=\; \frac{(1.0 \times 10^6)\,(2.0 \times 10^{-2})}{8.314 \times 300}. $$

En el numerador, \((1.0 \times 10^6)\times(2.0 \times 10^{-2}) = 2.0 \times 10^4\). El denominador es \(8.314 \times 300 \approx 2494.2\). Por tanto:

$$ n_0 \;\approx\; \frac{2.0 \times 10^4}{2494.2} \;\approx\; 8.0\;\text{moles}. $$

De esta manera, la cantidad de gas (en moles) contenida inicialmente en el recipiente es aproximadamente 8.0 moles.

3. Parte (b): Volumen del segundo depósito

Tras trasvasar algo de gas, tenemos estas condiciones finales:

  • El depósito 1 queda a \(P_1' = 0.8 \times 10^6\,\text{N/m}^2\) y \(T_1' = 300\,\text{K}\) (su volumen no varía, sigue siendo \(V_1\)).
  • El depósito 2 queda a \(P_2' = 5.0 \times 10^5\,\text{N/m}^2\) y \(T_2' = 288\,\text{K}\), y su volumen es la incógnita \(V_2\).

La masa total (o equivalentes, los moles totales) de gas no cambia:

$$ n_0 \;=\; n_1' + n_2, $$

donde

  • \(n_0\) es el número de moles total que calculamos en (a).
  • \(n_1'\) es la nueva cantidad de moles que quedan en el primer depósito.
  • \(n_2\) es la cantidad de moles en el segundo depósito.

3.1. Moles finales en el depósito 1

Aplicando la ley de los gases ideales al estado final del depósito 1:

$$ n_1' \;=\; \frac{P_1' \,V_1}{R \,T_1'} \;=\; \frac{(0.8 \times 10^6)\,(2.0 \times 10^{-2})}{8.314 \times 300}. $$

Numerador: \((0.8 \times 10^6)\times(2.0 \times 10^{-2}) = 1.6 \times 10^4.\) El denominador es el mismo que antes, \(8.314 \times 300 \approx 2494.2.\)

$$ n_1' \;\approx\; \frac{1.6 \times 10^4}{2494.2} \;\approx\; 6.41\;\text{moles}. $$

3.2. Moles en el segundo depósito

Por diferencia:

$$ n_2 \;=\; n_0 - n_1' \;=\; 8.0 - 6.41 \;=\; 1.59\;\text{moles} \;\;(\text{aprox.}). $$

3.3. Relación con la presión y volumen del depósito 2

La ley de los gases ideales para el depósito 2 indica:

$$ P_2' \,V_2 \;=\; n_2 \,R \,T_2'. $$

Despejando \(V_2\):

$$ V_2 \;=\; \frac{n_2\,R\,T_2'}{P_2'}. $$

Sustituyendo valores numéricos:

  • \(n_2 \approx 1.59\;\text{moles}\)
  • \(R = 8.314\,\text{J/(mol·K)}\)
  • \(T_2' = 288\,\text{K}\)
  • \(P_2' = 5.0 \times 10^5\,\text{N/m}^2\)
$$ V_2 \;=\; \frac{1.59 \,\times\, 8.314 \,\times\, 288}{5.0 \times 10^5}. $$

Primero calculamos \(8.314 \times 288 \approx 2391.232\). Multiplicándolo por 1.59 da \(2391.232 \times 1.59 \approx 3800\,\text{y algo}.\) Dividimos entre \(5.0 \times 10^5\):

$$ V_2 \;\approx\; \frac{(1.59)\times(2391.232)}{5.0 \times 10^5} \;\approx\; 7.6 \times 10^{-3}\,\text{m}^3. $$

Con un redondeo razonable,

$$ \boxed{ V_2 \;\approx\; 7.7 \times 10^{-3}\,\text{m}^3 \;\; (\text{unos }7.7\,\text{litros}). } $$

4. Resumen de respuestas

  1. Cantidad de gas en el primer depósito (a):
    \(n_0 \approx 8.0\) moles de nitrógeno.
  2. Volumen del segundo depósito (b):
    \(V_2 \approx 7.7 \times 10^{-3}\,\text{m}^3\).

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